Родился Башир Чахкиев 3 января 1938 года в с. Насыр-корт Назрановского района, вместе с народом был депортирован в 1944 г. Детство его прошло в Алматинской области.
В 1956 году Башир поступил в Алма-Атинский индустриальный техникум, затем окончил факультет журналистики МГУ, вернулся на Родину и с 1960 года начал работать на республиканском телевидении ЧИАССР. В 1966 году поступил в аспирантуру в г.Баку в Азербайджане.
Башир Чахкиев занимал различные должности и одновременно вёл большую общественную работу. Был собственным корреспондентом Центрального телевидения в Чечено- Ингушской АССР; доцентом Чечено-Ингушского госуниверситета; руководил телевидением ГТРК «Ингушетия», членом правления Всесоюзной Ассоциации жертв незаконных репрессий; участвовал в съезде народов Северного Кавказа; баллотировался в Государственную думу 5-го созыва от партии «Единства»; был зарегистрирован ЦИК на пост Президента РФ (1996).
В 1993 году Башир Ахмедович Чахкиев стал первым руководителем Государственной архивной службы Республики Ингушетия. «Архив — это основа государства, значение его в истории того или иного народа трудно оценить словами… Это жизнь, запечатленная в документах, это наше прошлое, настоящее и будущее», — говорил он в годы руководства службой.
Это был самый сложный период становления, когда остро стали вопросы создания условий для работы, условий для обеспечения сохранности документов, решения вопроса о необходимости воссоздании исторического документального наследия ингушского народа и др. Башир Чахкиев, возглавлявший Службу с 1993 по 1996 гг., приложил немало усилий для их решения.
Архивная служба республики начала свою деятельность практически с нулевой отметки, не имея ни собственного здания с архивохранилищами, ни квалифицированных кадров, а главное не имея документальной базы, так как не была проведена на государственном уровне работа по разделу между республиками фондов бывшего ЦГА ЧИАССР, и Ингушетия не получила ни одного документа из общего исторического наследия. При этом, Государственная архивная служба являлась как органом управления в сфере архивного дела Ингушетии, так и исполняла функции Центрального государственного архива республики. Соответственно, уже в первые годы своей деятельности Архивная служба, находясь в арендуемых, совершенно не приспособленных для хранения документов помещениях, начала прием документов ликвидированных учреждений и предприятий, из которых были сформированы первые фонды документов постоянного срока хранения и по личному составу. Одновременно с приемом документов и их научно-технической обработкой, началось налаживание работы по использованию документов – исполнению тематических и социально-правовых запросов, в первую очередь, это касалось документов по личному составу ликвидированных предприятий, запросы по которым поступали в связи с необходимостью оформления трудовых пенсий, а значит, требовали неотлагательного решения.
В это же время началось решение вопросов комплектования Архивного фонда республики, для чего проводилась работа по формированию ведомственных архивов – источников комплектования в органах государственной власти, учреждениях и организациях республики, в которых были налажены учет документов и обеспечена их сохранность.
Наконец, приоритетной задачей Архивной службы республики, уже в первые годы ее функционирования, стало восстановление утраченного историко-культурного документального наследия и формирование коллекций документов по истории Ингушетии.
В 2008 году после продолжительной болезни Башир Чахкиев ушел из жизни.
Башир Чахкиев — государственный и общественный деятель, всю свою жизнь посвятивший делу восстановления исторической справедливости, сбору материалы о земляках-просветителях, поиску известных и безызвестных имен соотечественников.